题目：
摘自北京市海淀区七年级下册期末数学试卷T16
如图，在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，已知点 \(A(1,1)\)，点 \(B(4,4)\)，点 \(C(5,2)\)，连接 \(AB\)，\(BC\)，\(P(x,y)\) 为折线段 \(A-B-C\) 上的动点（\(P\) 不与 \(A\)，\(C\) 重合），记 \(t = \lvert y + a \rvert\)，其中 \(a\) 为实数。
现已知 \(t\) 有最大值，求 \(a\) 的范围。
分析
首先根据点 \(A,B,C\) 坐标求出 \(AB\) 和 \(BC\) 的解析式，这里有些不严谨，但我认为使用斜率求方程有些大炮打蚊子。
- 线段 $ AB $：从 $ A(1,1) $ 到 \(B(4,4)\)，函数解析式为 \(Y_{AB} = x\) （\(x \in (1,4]\)）。
- 线段 $ BC $：从 $ B(4,4) $ 到 \(C(5,2)\)，函数解析式为 \(Y_{BC} = -2x +12\) （\(x \in [4,5)\)）。
这里注意两个 \(x\) 的范围!
因为 $ t = |y + a| = |y - (-a)| $，所以表示点 $ P(x,y) $ 到水平直线 $ l $ 函数解析式 $Y_{l}= -a $ 的垂直距离。设 $k = -a $，则 $ t = |y - k| $。
因为 \(P\) 不与 \(A\)，\(C\) 重合），所以当 \(t\) 存在最大值时 \(y\) 在点 \(B\) 或内部。
- 当 \(y\) 在 \(AB\) 上时，\(1 < y \le 4\)：
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当 \(k \le 1\) 时，\(y > 1 \ge k\)，因此 \(|y-k|=y-k\)。\(y-k\) 随着 \(y\) 的增大而增大，故当 \(y=4\) 时取得最大值 \(|4-k|\)。
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当 \(k\le 4\)，因为 \(y \in (1,4]\)，所以 \(y \le k\)，因此 \(|s-k|=k-y\)。\(k-y\) 随着 \(y\) 的增大而减小，因此当 \(y=1^{+}\) 时 \(k-y\) 最大。但因为 \(y >1\)，所以 $k-y < k-1 $，当且仅当 \(s\) 无限趋近与 \(1\) 时 \(k-y\) 无限趋近于 \(k-1\)。但始终小于 \(k-1\)，因此无最大值（上确界为 \(k-1\) 但无法达到）。
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当 \(1<k<4\),\(|y-k|=|y-k|\),在 y=k$ 处最小，在端点处最大。当 \(y\) 无限趋近于 \(1\) 时，$|y-k|=|1-k|；当 \(y\) 等于 \(4\) 时，\(|y-k|=|4-k|\)。由于 \(k \in (1,4)\)，所以 \(|1-k|=k-1\)，\(|4-k|=4-k\)。
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比较 \(k-1\) 和 \(4-k\)，当 \(k-1=4-k\) 时，即 \(k=2.5\)。若 \(k \le 2.5\)，则 \(|4-k|=4-k \ge k-1\)，且 \(y\) 可以取到最大值 \(4\) 因此最大值为 \(4-k\)。若 \(k >2.5\)，则 \(k-1>4-k\)，但请注意这里 \(y\) 时无限接近于 \(1\)，所以取不到最大值，上确值 \(k-1\) 有但无法到达。
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类似地,若 \(k\ge4\) ,当 \(y\) 无限接近 \(1\) 时，\(|1-k|=1-k\)，无最大值。若 \(k\le1\)，如上所述，\(|y-k|\) 的 最大值 \(4-k\)。
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小结一下，当 y 在 \(AB\) 上时，\(1 < y \le 4\)。有最大值的情况是 \(k \le 2.5\)
- 当 \(y\) 在 \(BC\) 上时，\(2 < k \le 4\)：
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