记非惯性系 \(S'\) 绕惯性系 \(S\) 定轴旋转，速度为 \(\boldsymbol{w}(t)\)，加速度为 \(\boldsymbol{\beta}(t)\)。对于一 \(S\) 中坐标为 \(\boldsymbol{r}(t)\)、速度为 \(\boldsymbol{v}(t)\)、加速度为 \(\boldsymbol{a}(t)\) 的质点，我们可以分析其在 \(S'\) 系上受到的惯性力。
不失一般性的假设定轴为 \(z\) 轴，记 \(\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v},\alpha)\) 表示向量 \(\boldsymbol{v}\) 绕 \(z\) 轴顺时针旋转 \(\alpha\) 角得到的结果，我们有
\[\begin{aligned}
\boldsymbol{v'}(t)&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{r'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{r'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t)+\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t)-\boldsymbol{r}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\boldsymbol{a'}(t)&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t)+\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w})\times\boldsymbol{w}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w})'\\
&=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{w}+2\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\beta}
\end{aligned}
\]
综上所述，我们得到了 \(S'\) 下质点所受的惯性力，称 \(m\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{w}\) 为惯性离心力，\(2m\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\) 为科里奥利力，\(m\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\beta}\) 为切向惯性力。